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直接开平方公式「专家解答」

知识网2022年04月30日 11:40原创

网友提问:

直接开平方公式「专家解答」

优质回答:

第一次与你邂逅应该在初一,那时的你是这副模样:x²=4——单纯而美好,一瞬间我走进了你的视线,带着"平方根"的甜言蜜语,轻而易举就俘获了你的"心"(根)——x=±2,,到了初三我才知道原来你有一个那么率真的名字——"直接开平方",再次相遇,是否还如初见般美好?

一、直接开平方法——平方根

适用于已形成完全平方式的情况

(九年级第2讲)一元二次方程的解法直接开平方及配方法

【理论基础】平方根的性质

正数有两个平方根,它们互为相反数

0的平方根是0

负数没有平方根

我们再来看一般情况:

(九年级第2讲)一元二次方程的解法直接开平方及配方法

注:上述解法,正好与平方根的性质相对应,如通过观察我们发现“当p≥0时,方程有实根”与“非负数才有平方根”也是相对应的,请同学们认真体会。至于当p=0时,为什么不说方程有一个实根,而说成有两个相等实根,初学时可能会有疑问,我们会在学完所有解法之后再做解释。

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参照上面的结论,我们再来求下面的方程:

(九年级第2讲)一元二次方程的解法直接开平方及配方法

【练习】

(1)9x²-5=3

(2)3(x-1)²-6=0

(3)x²-4x+4=5

(4)9x²+4=0

<参考答案>

(1)±2√2/3

(2)1±√2

(3)2±√5

(4)无实根

【理解】

1、在利用直接开平方法时,要注意左边一定要先化为一个完全平方的形式,也就是通过变形,得到x²=p或(x+n)²=p的形式,注意要把x²和(x+n)²前面的系数化为1之后再开平方;

2、在学习一元二次方程时,我们会经常碰到方程无实根的情况,如【练习】中的(4)这是在学习一元一次方程时不太常见的,需要同学们多留心;

3、对于ax²+c=0或a(x+n)²+c=0,我们会发现当a、c异号时,方程才有实数根

二、配方法——"一切为了开方"

对于一元二次方程x²+6x+3=0,我们能否化成x²=p或(x+m)²=p的形式?

观察发现:对于x²+6x+3=0,左边有二次项、一次项,我们只需要想办法利用等式性质,在两边加上一个数,使得左边能配成一个完全平方式即可

移项得,x²+6x=-3

方程两边都加上一次项系数一半的平方即9得,x²+6x+9=-3+9

于是,得到:(x+3)²=6

这样就转化成了可以直接开方的形式

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而对于一元二次方程2x²-4x-3=0,由于其二次项系数不为1,所以需要处理,即多一个步骤——"系数化为1"

移项得,2x²-4x=3

系数化为1得:x²-2x=3/2

【配方法求解的一般步骤】:

①移项,使方程左边只含有二次项和一次项,右边为常数项

②将二次项系数化为1;

③方程两边都加上一次项系数一半的平方;

④原方程变为(x+m)²=p的形式;

⑤直接开平方,得到两个一元一次方程

⑥求解

【练习】

(1)x²-8x+1=0

(2)2x²+1=3x

(3)3x²-6x+4=0

<参考答案>

(1)4±√15

(2)1或1/2

(3)无实根

【理解】

1、利用配方法的前提是将二次项系数化为1(这是准备工作);

2、利用配方法的关键步骤自然是配方,其方法是:方程两边同加一次项系数一半的平方(这是关键点);

3、通过开平方实现降次的目的,进而把一元二次方程转化为一元一次方程来求解

【课后练习】

请同学尝试利用配方法解关于x的方程ax²+bx+c=0(a≠0)

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